EJERCICIOS DE APLICACIÓN

ACTIVIDADES:

A partir de lo analizado anteriormente, contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Una función cuadrática tendrá siempre dos raíces?

b) ¿El grafico de la función cuadrática será siempre una parábola cóncava (con las ramas hacia arriba), como se muestra en el gráfico?

Para contestar estas preguntas, ingresen al siguiente link, que les será de gran ayuda para profundizar este tema.

Características de la función cuadrática

Actividad 1

1) ¿Cuáles de las siguientes son funciones son cuadráticas?

a) f(x) = 2(x - 3)² - 5(2x + 3) + 8x(3 - 2x)

b) g(x) = 4x² - 3(x - 6) - (2x - 3)² + 5x - 8

c) h(x) = 6x - 3x(x+5) - 2(x - 1)(3 - x) + 6

d) t(x) = 2(x-1)² - 2x(x + 2) + 5

Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen las funciones cuadráticas encontradas. Luego señalen las raíces, el vértice y su eje de simetría.

2) Grafiquen las siguientes funciones cuadráticas:

a) f(x) = x² - 2x - 1

b) f(x) = x² + 2x + 1

c) f(x) = x² - 2x + 2

A partir de los gráficos realizados anteriormente, contesten:

a) ¿Existe diferencia entre los gráficos? Justifiquen su respuesta.

b) ¿Cuántas raíces tiene cada función?

c) ¿Se puede encontrar el vértice sobre la recta x en alguna de las funciones?

d) ¿Alguna de las funciones no corta en el eje x? De ser así, indiquen cuánto valen sus raíces.

Actividad 2

1) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen las siguientes funciones:

a) f(x) = -3x² + 2x + 1

b) g(x) = 1/2 x² +3 x - 1

2) Una vez graficadas, determinen gráfica y analíticamente los siguientes elementos: raíces de la función, el vértice, el eje de simetría y la ordenada al origen de las funciones.

a) ¿Cuál es el punto de intersección entre las funciones? ¿Cómo podrían calcularlo analíticamente?

3) Hallen la expresión de la función cuadrática que cumpla con los siguientes requisitos:

a) Su gráfico pasa por el punto (3, -1) y su vértice es el punto V = (-2, 3)

b) Su gráfico intersecta al eje y en (0, 7) y su vértice es el punto V= (3, 2)

Actividad de cierre

1) Reunidos en grupos de dos o tres alumnos, investiguen en Internet o en otras fuentes la biografía del matemático Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi.

2) Analicen en qué consiste el método utilizado por este matemático para resolver ecuaciones cuadráticas. Discutan con sus compañeros y el docente la forma en que se obtienen las raíces de la ecuación cuadrática.

3) Consideren la siguiente función cuadrática: y = 3 x² -2 x - 1. Encuentren sus raíces, según el método investigado, y luego hallen el vértice y la ordenada al origen. Con estos datos realicen en papel un gráfico aproximado.

FORMA FACTORIZADA Y FORMA CANÓNICA DE LA PARÁBOLA

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

siendo a el coeficiente principal de la función, y  y  las raíces de . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces  por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a  se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.²

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

CARACTERÍSTICAS GENERALES - GRAFICACIÓN

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

con .

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de laparábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

 Antes de comenzar, analicen junto con el docente la siguiente información sobre la función cuadrática:

- Toda función cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Esta forma de escribir a la función cuadrática se denomina polinómica.

- El gráfico de una función cuadrática está formado por puntos que pertenecen a una curva llamada parábola. Miren el gráfico y vean los elementos que se distinguen en él:

Raíces (raíz₁ yraíz₂): las raíces o ceros de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0. Gráficamente, las raíces corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.

Podemos determinar las raíces de una función cuadrática igualando a cero la función f(x) = 0, y así obtendremos la siguiente ecuación cuadrática: ax² + bx +c = 0

Para calcular las raíces se utiliza la siguiente fórmula:

Eje de simetría (eje): representa la recta vertical simétrica con respecto a la parábola.

El eje de simetría de una parábola puede determinarse mediante la siguiente expresión: 

donde x₁ y x₂son las raíces de la función cuadrática.

Vértice (vértice): el vértice de la parábola está ubicado sobre el eje de simetría y es el único punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. A la coordenada x de este punto la llamaremos x_v  y a la y, y_v. El vértice de la parábola vendrá dado por las siguientes coordenadas: V =(x_v; y_v).

Las coordenadas del vértice también pueden hallarse analíticamente por las siguientes expresiones:

El valor x_v se obtiene con la misma expresión que el eje de simetría: 

Una vez obtenido el valor x_v podemos determinar y_v evaluando la función cuadrática y_v = f(x_v).